運籌帷幄——我國古代的高超算術原創(chuàng)

說到算籌，想必很少有人聽聞。雖然史上國外（日本、印度、巴基斯坦等）也有過這塊腰椎間盤，但還是要數(shù)中國的最突出。

先感性認識一下

算籌最早出現(xiàn)于商周，在算盤被發(fā)明之前，堪稱世界上最先進的計算工具。你可能沒聽說過，但「運籌帷幄」、「觥籌交錯」這些朗朗上口的成語皆出于此。而這所謂先進的計算工具，竟是一根根小小的棍子（長約十幾厘米）。棍子的材料多樣，竹子、木頭、象牙、獸骨、金屬、玉器應有盡有，凡能削成棍狀的東西皆可為之。當然我們現(xiàn)今所能看到的算籌，多是耐腐蝕材質的。

戰(zhàn)國骨籌（圖片來自http://www.cnr.cn/sxpd/jd/20170720/t20170720_523860563.shtml#3）

戰(zhàn)國銅籌（圖片來自http://bbs.chcoin.com/show-6865738.html?authorid=190510）

西漢鉛籌（圖片來自http://blog.sina.com.cn/s/blog_4551bbe8010105vv.html）

西漢牙籌（截圖來自《如果國寶會說話 第二季》第20集）

像我們隨身攜帶手機一樣，懂數(shù)學的古人通常會隨身佩戴絲布制成的算袋，里頭放著一把算籌。走在路上碰到欠債不還的，一言不合就能掏出來跟他算賬……

圖片來自網(wǎng)絡

傳說秦始皇也經常佩帶絲質的算袋。一次東游，他把算袋扔進了海里，變化成烏賊，因此烏賊也有算袋魚之稱。

到了唐朝，更有法律規(guī)定文武百官必須佩帶算袋?？梢娫诒藭r，算籌不單單是一種計算工具，更是文化和身份的象征。

算籌示數(shù)

史上第一本記述算籌的專著是一千五百年前的《孫子算經》，作者不詳（跟孫武孫臏沒有半毛錢關系）。

算籌用紅棍表示正數(shù)，黑棍表示負數(shù)，有縱橫兩種「布棍」模式，縱式用豎棍表示1、橫棍表示5，橫式反之：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
縱式
橫式

	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9
縱式
橫式

0比較特殊，用留空表示。

對于不同的數(shù)位，縱式、橫式是相間使用的，《孫子算經》如是描述：

凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。

個位上的數(shù)字用縱式，十位上的用橫式，百位上再用縱式，千位再用橫式，以此類推。這樣奇怪的做法是考慮到0的存在，比如2018：

2	0	1	8
橫式	縱式	橫式	縱式

畫了表格，才凸顯出0的空位。但在實際使用中，尤其在書寫（謄抄算法）時，空位很容易被忽略，有了縱橫交錯的做法，即使沒有空位，2和1挨在一起，也不會把2018當成218。

當然這也存在一個問題，比如20018就有被當成218的可能。人們會在「布籌」的計算板上（counting board）劃好棋盤一樣的表格，或者用圍棋子來表示0，以避免這個問題。在書寫方面，則引入了圓圈符號——〇。即便如此，縱橫交錯的形式還是作為經典被始終沿用。

籌算

使用算籌的方法叫籌算，兩個字顛倒一下，好比牙刷的使用叫刷牙，不得不感慨中文的博大精深。由于人在閱讀時會無意識地忽略文字順序，所以下文所提「算籌」、「籌算」還請細細分清。

籌算的能力強大，除了最基本的加減乘除，還能進行乘方和開方，納尼！乘方？開方？！是的，你沒有看錯，而且遠不止這些，籌算甚至能解線性方程（組）、求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)、解同余式組、造高階查分表等等，其所用到的負數(shù)、小數(shù)、分數(shù)等較為抽象的數(shù)字概念，比西方早出一百年甚至好幾百年。

公元480年左右，南北朝數(shù)學家祖沖之使用籌算將圓周率精確到小數(shù)點后7位（3.1415926~3.1415927之間），這一精度領先世界近千年，直到15世紀初才被打破。這一計算涉及包括開方在內的130次運算，放到今天，如果不用電子計算設備給你一沓草稿紙，恐怕也很難算準。

除了圓周率，著名的秦九韶算法、剩余定理等高超的古代數(shù)學成就，都是靠籌算得到的。

其實算籌本身僅僅提供了一種用棍子表示數(shù)字的「書寫」形式，能做如此復雜的計算，得益于古人一代代智慧積累下來的算法口訣，包括沿用至今的九九乘法表。計算過程和現(xiàn)在的「列豎式」十分相似：

6561 ÷ 9（圖片來自維基「Sunzi Suanjing」詞條，請無視它為什么不是紅色……）

也許你會覺得，籌算雖然強大，但小木棍的擺放好像并不方便。確實需要進行許多機械式的重復步驟，但可謂孰能生巧，厲害的籌算者有著相當可觀的計算速度，沈括在《夢溪筆談》中描述某壞男人淮南人：

運籌如飛，人眼不能逐。

不知是否有夸張的成分，但參考現(xiàn)在嫻熟的算盤手，基本也能想象其景。

算籌的不足

籌算雖然強大，然而作為一種質樸的計算工具，終有捉襟見肘的時候。同現(xiàn)今計算機軟硬件的相互促進一樣，諸多算法為適應籌算模式而生，而算籌本身卻漸漸對復雜的算法力不從心——譬如重因法、身外加減法、求一法，聽都沒聽說過，靠一堆小棍棍已經難以應對。加之，籌算時所用算籌數(shù)量龐大，表示單個數(shù)就可能用到5根，數(shù)字越多越繁亂，三國時期魏國人管輅的《管氏地理指蒙》一書甚至以籌喻亂：

形如投算，憂愁紊亂。

而且起初的算籌長約14厘米，擺個6就要占200平方厘米，可以想象，做稍微復雜一點的運算時得放多大一塊面積。即使到宋元間改良至1~3寸（3~10cm），面對大計算量的問題依然不好使。宋代馬永卿《懶真子》一書就有言：

卜者出算子約百余，布地上，幾長丈余。

解道數(shù)學題要鋪滿整個客廳，還得滿地爬，不僅是腦力活，更是體力活，搞不好還容易閃著腰啊……

算籌，終被算盤取代。

蘇州碼子

蘇州碼子，也叫草碼，花碼、菁仔碼、番仔碼、商碼，是我國在阿拉伯數(shù)字傳來之前廣泛使用的一種數(shù)字形式，是唯一一種現(xiàn)存的書面算籌變種，在港澳街市、舊式餐廳、中藥房仍有一點碰到的小概率。

你們見過嗎？我是可惜沒有見過。

有了這條冷知識，以后出門一定得好好留意，指不定走進哪家餐館，看到的價目表是醬紫的：

圖片來自維基「Suzhou numerals」詞條

正當小伙伴們眾臉懵逼之時，你一頓瀟灑解讀，甭提多有面子??！

頭條百科了解算籌…

算籌

古代同樣長短和粗細的棍子

根據(jù)史書的記載和考古材料的發(fā)現(xiàn)，古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子，一般長為13–14cm，徑粗0．2～0．3cm，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個布袋里，系在腰部隨身攜帶。

需要記數(shù)和計算的時候，就把它們取出來，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。別看這些都是一根根不起眼的小棍子，在中國數(shù)學史上它們卻是立有大功的。而它們的發(fā)明，同樣經歷了一個漫長的歷史發(fā)展過程。

基本信息

計數(shù)法

算籌

在算籌計數(shù)法中，以縱橫兩種排列方式來表示單位數(shù)目的，其中1-5均分別以縱橫方式排列相應數(shù)目的算籌來表示，6-9則以上面的算籌再加下面相應的算籌來表示。表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。這種計數(shù)法遵循一百進位制。據(jù)《孫子算經》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當?！断年柡钏憬洝氛f：滿六以上，五在上方。六不積算，五不單張。

發(fā)明

算籌的發(fā)明就是在以上這些記數(shù)方法的歷史發(fā)展中逐漸產生的。它最早出現(xiàn)在何時，已經不可查考了，但至遲到春秋戰(zhàn)國；算籌的使用已經非常普遍了。前面說過，算籌是一根根同樣長短和粗細的小棍子，那么怎樣用這些小棍子來表示各種各樣的數(shù)目呢？

擺法

算籌

那么為什么又要有縱式和橫式兩種不同的擺法呢？這就是因為十進位制的需要了。所謂十進位制，又稱十進位值制，包含有兩方面的含義。其一是"十進制"，即每滿十 數(shù)進一個單位，十個一進為十，十個十進為百，十個百進為千……其二是"位值制，即每個數(shù)碼所表示的數(shù)值，不僅取決于這個數(shù)碼本身，而且取決于它在記數(shù)中所處的位置。如同樣是一個數(shù)碼"2"，放在個位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我國商代的文字記數(shù)系統(tǒng)中，就已經有了十進位值制的萌芽，到了算籌記數(shù)和運算時，就更是標準的十進位值制了。

算籌

早在兩千多年前，我國古代勞動人民就發(fā)明了乘法的計算方法。不過，當時的方法與現(xiàn)在的不一樣，用算籌來進行計算的。算籌就是用竹子或其他材料做成的一根根小棒。當時用小棒表示數(shù)的方法有橫式和縱式兩種(表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，依此類推，遇零則置空)，如圖1。

用算籌進行乘法計算，先擺乘數(shù)于上，再擺被乘數(shù)于下，并使上數(shù)的末位與下數(shù)的首位對齊，按從左到右的順序用上數(shù)首位乘下數(shù)各位，把乘得的積擺在上下兩數(shù)中間，然后將上數(shù)的首位去掉、下數(shù)向右移動一位，再以上數(shù)第二位乘下數(shù)各位，加入中間的乘積，并去掉上數(shù)第二位。直到上數(shù)各位用完，中間的數(shù)便是結果。下面以183×26為例具體說明一下：

1．把乘數(shù)26擺在上面，被乘數(shù)183擺在下面，被乘數(shù)的個位與乘數(shù)的十位對齊，中間留有空余，準備擺乘得的積(如圖2)；

2．從高位乘起，用乘數(shù)十位上的2乘被乘數(shù)183，得3660，擺在中間，積的數(shù)位與被乘數(shù)對齊(如圖3，積的個位0用空位表示)；

算籌

3．去掉已乘過的乘數(shù)十位上的數(shù)字2，把乘數(shù)個位6移至與被乘數(shù)的個位對齊的位置(如圖4)；

算籌

4．用乘數(shù)個位6乘被乘數(shù)183，所得的積與3660相加，最后得積4758(如圖5)。

規(guī)則

按照中國古代的籌算規(guī)則，算籌記數(shù)的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，萬位再用縱式等等（到搜狗可以查）這樣從右到左，縱橫相間，以此類推，就可以用算籌表示出任意大的自然數(shù)了。由于它位與位之間的縱橫變換，且每一位都有固定的擺法，所以既不會混淆，也不會錯位。毫無疑問，這樣一種算籌記數(shù)法和現(xiàn)代通行的十進位制記數(shù)法是完全一致的。

十進位制

中國古代十進位制的算籌記數(shù)法，在世界數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造。把它與世界其他古老民族的記數(shù)法作一比較，其優(yōu)越性是顯而易見的。古羅馬的數(shù)字系統(tǒng)沒有位值制，只有七個基本符號，如要記稍大一點的數(shù)目就相當繁難。古美洲瑪雅人雖然懂得位值制，但用的是20進位；古巴比倫人也知道位值制，但用的是60進位。20進位至少需要19個數(shù)碼，60進位則需要59個數(shù)碼，這就使記數(shù)和運算變得十分繁復，遠不如只用9個數(shù)碼便可表示任意自然數(shù)的十進位制來得簡捷方便。中國古代數(shù)學之所以在計算方面取得許多卓越的成就，在一定程度上應該歸功于這一符合十進位制的算籌記數(shù)法。馬克思在他的《數(shù)學手稿》一書中稱十進位記數(shù)法為"最妙的發(fā)明之一"，當然是一點也不過分。

古代數(shù)學成就

在算籌計數(shù)法中，以縱橫兩種排列方式來表示單位數(shù)目的，其中1-5均分別以縱橫方式排列相應數(shù)目的算籌來表示，6-9則以上面的算籌再加下面相應的算籌來表示。表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。這種計數(shù)法遵循十進位制。算籌的出現(xiàn)年代已經不可考，但據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年（公元前722年～公元前221年）。

兩千多年前我們的祖先就懂得了這樣精妙的計算，真是神奇！在這當中，算籌功不可沒，它是在珠算發(fā)明以前中國獨創(chuàng)并且是最有效的計算工具。中國古代數(shù)學的早期發(fā)達與持續(xù)發(fā)展都是受惠于算籌的。

商碼計數(shù)法（中國三千年前商周時代發(fā)明的十進制算籌計數(shù)法的具體運用）

轉自…青燈盦主人

舊時表示數(shù)目的符號,也叫草碼，商碼。此外，零還是0。

【商碼字符】〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩 十

【對應數(shù)字】

商碼：〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩 十

漢字：一 二 三 四 五 六 七 八 九 十

大寫：壹 貳 叁 肆 伍 陸 柒 捌 玖 拾

阿拉伯：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

【書寫】

1，就寫一個豎；

2，兩個豎：〢

3， 三個豎：〣

4，是個交叉：〤

5，寫成〥，其實只是 5 字寫得草和快

6，寫成一點加一橫，其中的一點，代表了5：〦

7，寫成一點加兩橫：〧

8，一點加三橫：〨

9，寫成“久”的草體：〩

【使用舉例】

古代人計數(shù)都用算盤，上面一點就像算盤上檔撥下一個子，表示五，所以〦是六，〧是七，很好理解。需要說明的是，當〡 〢 〣 相遇時, 中間會變成橫劃. 否則“| | |”就不知道是一百一十一, 三, 廿一, 還是十二了。

例如：2134，要寫成 ：〢一〣〤；

32，要寫成：〣二。

真正運用這些符號，還要結合古代賬本豎寫的特點。否則，多看少看一個數(shù)字，差別太大，通常要記作兩行。

例如，標價5角9分，會寫作：〥〩

▲

這個▲代表“角”，它的尖頭，一般放在〥和〩中間的下方。

又比如：標價5元8角，會寫作：〥〨

●

這個●代表“元（圓）”，它一般放在〥和〨中間的下方。

再如，標價3908元，會寫作：〣〩0〨

仟

一說仟字要放在〣的下面，可能是各地習慣也有所不同。但要在第一位數(shù)字右下方（或下方）標注 。

摘自 陳先樞先生。